为什么a是f(x)导数的k重根,则a是f(x)的k+1重根是错的?

为什么a是f(x)导数的k重根,则a是f(x)的k+1重根是错的?

因为x=a是f(x)的k重根，所以f（x）=（x-a）^kg（x），其中g（a）≠0. f'(x)=k(x-a)^(k-1)g(x)+(x-a）^kg'（x)=(x-a)^(k-1)(kg(x)+(x-a)g'(x))，所以(x-a)^(k-1)能够整除f'(x)。但(x-a)^k不能整除f'(x)。从而x=a是f'(x)的k-1重根。

重根注意：

因为显然在特征0（无限）域中有重根的充分必要条件是原函数和导函数不互素，即最大公约式不是常数。而不可约多项式无根，因此在当前域上导函数与原函数显然是互素的，即最大公约式是常数。而最大公约式可以由辗转相除法求得。