n个平面最多将空间分成几个部分？用排列组合知识证明

n个平面最多将空间分成几个部分？用排列组合知识证明

分两步。(1)设平面内n条直线最多把平面分成f(n)个区域，f(1)=2,第n条直线最多被前(n-1)直线分成n段，每一段把它所在区域一分为二，所以f(n)=f(n-1)+n,所以f(n)-n(n+1)/2=f(n-1)-(n-1)n/2=……=f(1)-1=1,所以f(n)=(n^2+n+2)/2.(2)设空间中n个平面把空间分成g(n)个区域，g(1)=2,第n个平面最多被前(n-1)平面分成f(n-1)区域，每个平面区域把它所在的空间区域一分为二，所以g(n)=g(n-1)+f(n-1)=g(n-1)+(n^2-n+2)/2,所以g(n)-(n^3+5n)/6=g(n-1)-[(n-1)^3+5(n-1)]/6=……=g(1)-1=1,所以g(n)=(n^3+5n+6)/6,为所求。